Claus Drexel arrive à Grenoble à l’âge de trois ans, où son père fait de la recherche fondamentale en physique des particules. Adolescent, il est passionné de sport et notamment de ski alpin qu’il a pratiqué en compétition. Il s’est aussi passionné pour le football américain, décrochant un titre de champion de France de 2e division avec les Centaures de Grenoble. Il joue ensuite plusieurs saisons en 1re division et fait aujourd'hui partie du "Hall of Fame" de cette équipe. Après une scolarité en section internationale et des études scientifiques et techniques à l'université de Grenoble, il s'installe à Paris pour y étudier le cinéma. Il travaille d'abord comme ingénieur du son, monteur et directeur de la photographie, avant de passer à la mise en scène.
Il réalise trois courts métrages : C4 (1996), Max au bloc (1998) et La Divine Inspiration (2000), interprété par Keir Dullea (acteur principal de 2001, l'Odyssée de l'espace).
Après Affaire de Famille avec André Dussollier et Miou-Miou (2008), puis Au Bord du Monde, un documentaire sur les sans abri parisiens (2014), America est le troisième long-métrage de Claus Drexel. Par ailleurs, il a dirigé la mise en scène de la Passion selon Saint Matthieu de JS Bach au Cirque d’Hiver de Paris, avec Didier Sandre dans le rôle de l’évangéliste (2012).
